Zufallszahlen erzeugen

So wird gerechnet

Der Rechner erzeugt seine Zahlen mit einem Lehmer-Generator, im Fachjargon der „minimale Standard“ nach Park und Miller. Jeder Schritt setzt den inneren Zustand neu: nächster Zustand = 48271 × Zustand mod 2147483647. Der Faktor 48271 und der Modul 2147483647, die Mersenne-Primzahl 2³¹ minus 1, stammen aus der Arbeit von Park und Miller (1988) und ihrer Korrektur durch Park, Miller und Stockmeyer (1993); beide Zahlen stehen als benannte Konstanten mit Quellenangabe im Rechenkern. Gerechnet wird durchgehend in ganzen Zahlen: Jedes Produkt bleibt weit unter 2⁴⁷ und kann deshalb gar nicht ungenau werden.

Der Startwert ist der einzige Ausgangspunkt der Ziehung und steht als eigenes Feld im Formular. Vor dem Rechnen wird er auf den gültigen Zustandsbereich gebracht: Ein negativer Wert wird um den Modul erhöht, eine 0 wird zur 1, denn der Zustand 0 ist der einzige Punkt, der sich selbst erzeugt und immer dieselbe Zahl liefern würde. Danach schaltet der Generator den Zustand zehnmal fort, bevor die erste Zahl gezogen wird. Diese Aufwärmphase ist kein Schmuck: Ohne sie liefern kleine Startwerte wie 1 oder 2 sichtbar zusammenhängende erste Zahlen, weil 48271 × 1 noch eine kleine Zahl ist.

Eine einzelne Zahl entsteht so: Der Bereich von Von bis Bis umfasst Spanne = Bis − Von + 1 Zahlen. Die 2147483646 möglichen Zustände lassen sich nur dann ohne Rest auf die Spanne verteilen, wenn man die überzähligen verwirft: Es gibt 2147483646 ÷ Spanne (abgerundet) gleich große Fächer, und ein Zustand, der hinter das letzte volle Fach fällt, wird verworfen und erneut gezogen. Diese Verwerfungsmethode hält die Verteilung gleichmäßig. Die Abbildung läuft über eine Division, also über die höherwertigen Bits, und nicht über den Rest einer Division: Bei einem Lehmer-Generator sind die niederwertigen Bits deutlich schlechter verteilt, was bei kleinen Spannen wie einem Münzwurf sichtbar würde.

Der Modus wirkt nur auf die Annahme. Bei „ohne Wiederholung“ wird eine Zahl verworfen und erneut gezogen, wenn sie in dieser Ziehung schon vorkam; übersteigt die Anzahl den Bereich, weist der Rechner die Eingabe zurück, weil sich aus fünf verschiedenen Zahlen keine sechs verschiedenen ziehen lassen. Bei „mit Wiederholung“ bleibt jede Zahl im Korb, wie beim mehrmaligen Würfeln. Die Ziehungsreihenfolge bleibt immer erhalten und wird nicht sortiert: Die aufsteigende Fassung steht als zweiter Wert daneben, und die Tabelle im Ergebnis zeigt die Ziehung Zug für Zug.

Rechenbeispiel

Eine Lottoziehung

Sechs Zahlen aus 1 bis 49 ohne Wiederholung mit dem Startwert 1 ergeben die Ziehung 5, 28, 29, 40, 30, 26, aufsteigend gelesen 5, 26, 28, 29, 30, 40. Beispiel im Rechner öffnen. Derselbe Aufruf zeigt auch beim zweiten Mal genau diese sechs Zahlen; der Link „Neue Zahlen ziehen“ im Ergebnis ruft die nächste Ziehung mit dem nächsten Startwert auf.

Ein Würfelwurf

Fünf Würfel, also fünf Zahlen aus 1 bis 6 mit Wiederholung und dem Startwert 1, ergeben 1, 4, 4, 5, 4: Die 4 fällt dreimal, genau so, wie es echte Würfel zulassen. Beispiel im Rechner öffnen. Auch hier zeigt dieselbe Adresse immer dieselben fünf Zahlen, und jede Änderung des Startwerts liefert einen neuen Wurf.

Warum dieselbe Adresse dieselben Zahlen zeigt

Dieser Rechner enthält keine Zufallsquelle: Die einzigen Zutaten sind Ihre Angaben und der Startwert, und daraus entsteht die Ziehung nach einem festen, hier beschriebenen Verfahren. Deshalb zeigt dieselbe Adresse immer dieselben Zahlen, und das ist hier kein Mangel, sondern der Zweck: Eine Auslosung, deren Startwert vorher genannt wurde, ist nachträglich überprüfbar, denn jeder Teilnehmer kann dieselbe Adresse aufrufen und erhält dieselben Zahlen. Ein geteilter Link zeigt dem Empfänger genau das, was der Absender gesehen hat.

Neue Zahlen entstehen, ohne dass der Server würfeln müsste: Der Link „Neue Zahlen ziehen“ ruft dieselbe Seite mit dem nächsten Startwert auf, den die Ziehung selbst ausgegeben hat. Klicken Sie so oft Sie wollen, jede Ziehung bleibt für sich reproduzierbar. Der Preis der Reproduzierbarkeit ist die Vorhersagbarkeit: Wer zwei aufeinanderfolgende Zahlen einer Ziehung kennt, kann den Rest berechnen. Der Rechner eignet sich deshalb ausdrücklich nicht für Passwörter, Schlüssel, Sicherheitscodes oder Auslosungen mit Rechtsfolgen; dafür ist eine kryptografisch sichere Quelle nötig, wie sie Betriebssysteme und Passwort-Manager mitbringen.

Was der Rechner nicht beantwortet

• Kryptografisch sichere Zufallszahlen und Passwörter: Das Verfahren ist vorhersagbar und reproduzierbar. Für alles, wo Sicherheit zählt, nutzen Sie bitte die Zufallsquelle Ihres Betriebssystems oder einen Passwort-Manager.
• Andere Verteilungen als die Gleichverteilung: Jede Zahl des Bereichs hat dieselbe Wahrscheinlichkeit. Normalverteilte oder anders gewichtete Werte erzeugt der Rechner nicht.
• Das Mischen einer Namensliste: Der Rechner zieht Zahlen, keine Namen. Wer Personen auslosen möchte, nummeriert die Liste und zieht die Nummern.
• Ziehungen über 100 Zahlen: Die Anzahl ist auf 100 je Ziehung begrenzt; größere Stichproben ziehen Sie in mehreren Durchgängen und setzen die Kette mit dem Link „Neue Zahlen ziehen“ fort.