Bruchrechner: zwei Brüche verrechnen und kürzen

So wird gerechnet

Jeder Bruch steht als Zähler über Nenner. Haben beide Brüche denselben Nenner, werden Zähler addiert oder subtrahiert und der Nenner bleibt. Haben sie verschiedene Nenner, werden sie zuerst gleichnamig gemacht: Man erweitert jeden Bruch so, dass beide auf denselben Nenner kommen. Der günstigste gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner; der Rechner erweitert auf das Produkt der Nenner, das geht immer und führt nach dem Kürzen auf dasselbe Ergebnis.

Die vier Operationen folgen den Schulregeln. Bei Addition und Subtraktion lautet der neue Zähler „erster Zähler mal zweiter Nenner plus beziehungsweise minus zweiter Zähler mal erster Nenner“, der neue Nenner ist das Produkt der beiden Nenner. Bei der Multiplikation wird Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner gerechnet. Bei der Division wird mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert: „geteilt durch 9/10“ bedeutet „mal 10/9“.

Anschließend wird das Ergebnis gekürzt: Zähler und Nenner werden durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT) geteilt, und der Rechner nennt diese Zahl als „Gekürzt mit“, damit der Schritt nachvollziehbar bleibt. Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn dieser ggT gleich 1 ist. Ein negativer Nenner ist keine Besonderheit, nur eine unübliche Schreibweise: „1/−4“ wird beim Rechnen zu „−1/4“, das Vorzeichen wandert also in den Zähler. Jedes Ergebnis steht deshalb mit positivem Nenner da.

Eine gemischte Zahl wie „2 1/3“ wird zuerst in einen unechten Bruch überführt, indem der ganze Anteil mit dem Nenner multipliziert und der Zähler addiert wird (2 mal 3 plus 1 gleich 7, also 7/3). Die Leseregel lautet: Ist der ganzzahlige Anteil ungleich null, gilt sein Vorzeichen für die ganze gemischte Zahl; „−2 1/3“ bedeutet minus (zwei und ein Drittel), also „−7/3“. Ist der ganzzahlige Anteil null, gelten die Vorzeichen von Zähler und Nenner so, wie sie eingetragen sind.

Die Bruchdarstellung ist exakt, die Dezimaldarstellung ist gerundet und auf sechs Nachkommastellen beschränkt. Wo die Dezimalzahl gar nicht abbricht (etwa bei Dritteln), weist ein Hinweis im Ergebnis darauf hin; wer weiterrechnen will, übernimmt den Bruch.

Rechenbeispiel

Addition ungleichnamiger Brüche

Gesucht ist 1/2 plus 1/3. Die Nenner 2 und 3 sind verschieden, also wird auf den gemeinsamen Nenner 6 erweitert: 1/2 wird zu 3/6, 1/3 wird zu 2/6, und die Summe lautet 5/6. Der ggT von 5 und 6 ist 1, der Bruch ist also bereits vollständig gekürzt. Als Dezimalzahl zeigt der Rechner 0,833333 und weist darauf hin, dass sie gerundet ist, denn 5/6 als Dezimalzahl bricht nie ab. Beispiel im Rechner öffnen.

Division mit dem Kehrwert

Gesucht ist 3/5 geteilt durch 9/10. Statt zu dividieren, wird mit dem Kehrwert multipliziert: 3/5 mal 10/9 ergibt 30/45. Zähler und Nenner haben den ggT 15, und nach dem Kürzen bleibt 2/3; genau diese 15 nennt der Rechner als „Gekürzt mit“. Als gemischte Zahl wäre das Ergebnis kein ganzer Anteil über 0, es bleibt der Bruch 2/3. Beispiel im Rechner öffnen.

Was der Rechner nicht beantwortet

Der Rechner rechnet mit genau zwei Brüchen und einer Operation. Ausdrücklich nicht abgedeckt sind:

• mehr als zwei Brüche in einem Ausdruck,
• Klammern und Punkt vor Strich, also verkettete Ausdrücke wie „1/2 + 1/3 × 2/5“,
• Bruchterme mit Variablen, etwa „x/3 + 1/x“,
• Potenzen und Wurzeln von Brüchen,
• periodische Dezimalzahlen als Eingabe: 0,333… muss als Bruch 1/3 eingetragen werden.

Wer mehr als zwei Brüche verrechnen will, löst das in Schritten: erst zwei Brüche zusammenrechnen, das Ergebnis als Bruch notieren und es als einen der beiden Brüche der nächsten Rechnung eintragen.