Quersumme berechnen und Teilbarkeit prüfen

So wird gerechnet

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern, gebildet in genau einem Schritt: Aus 12345 wird 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Das Minuszeichen ist keine Ziffer: Bei negativen Eingaben rechnet der Rechner mit dem Betrag und sagt das in einem ausdrücklichen Hinweis, statt es stillschweigend zu tun.

Die iterierte Quersumme, in der Mathematik digitale Wurzel genannt, entsteht, indem man die Quersumme erneut bildet, bis eine einstellige Zahl übrig bleibt: Aus 12345 wird 15, aus 15 wird 6. Unter „Schritte“ nennt der Rechner, wie oft er dafür die Quersumme bilden musste, und die Tabelle unter dem Ergebnis zeigt jeden Schritt einzeln. Die digitale Wurzel ist eng mit dem Neunerrest verwandt: Eine Zahl lässt bei Division durch 9 denselben Rest wie ihre Quersumme, und die digitale Wurzel ist genau dieser Rest, nur dass der Rest 0 als 9 erscheint. 12345 lässt bei Division durch 9 den Rest 6, ihre digitale Wurzel ist ebenfalls die 6.

Die alternierende Quersumme entsteht, indem man die Ziffern von der Einerstelle aus abwechselnd addiert und subtrahiert, beginnend mit einem Plus: Für 121 rechnet man 1 - 2 + 1 = 0. Ihr Wert darf auch negativ sein, etwa -1 bei 1000000000; der Rechner lässt das Minuszeichen dann stehen, statt den Betrag zu bilden.

Aus den drei Quersummen folgen die drei Teilbarkeitsregeln, die der Rechner zu jeder Rechnung zusätzlich nennt:

• Dreierregel: Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. 483 hat die Quersumme 15, und 15 ist durch 3 teilbar, also ist 483 durch 3 teilbar.
• Neunerregel: Dieselbe Aussage gilt für die 9. 918 hat die Quersumme 18, und 18 ist durch 9 teilbar, also ist 918 durch 9 teilbar.
• Elferregel: Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. 121 hat die alternierende Quersumme 0, also ist 121 durch 11 teilbar.

Das Eingabefeld nimmt ganze Zahlen bis zu 15 Ziffern; warum die Grenze genau dort liegt, steht im letzten Abschnitt dieser Seite. Inhaltlich zuletzt geprüft am 02.09.2026. Die Teilbarkeitsregeln sind mathematisch konstant; die Redaktion prüft Formulierungen und Beispiele dennoch regelmäßig auf Verständlichkeit.

Rechenbeispiel

Die Dreierregel: 483

Die Zahl 483 soll auf Teilbarkeit durch 3 geprüft werden. Ihre Quersumme ist 4 + 8 + 3 = 15, und 15 ist durch 3 teilbar, also ist auch 483 durch 3 teilbar: 483 : 3 = 161. Dasselbe Beispiel zeigt die Grenze der Neunerregel: 15 ist nicht durch 9 teilbar, also ist 483 auch nicht durch 9 teilbar. Beispiel im Rechner öffnen.

Die Elferregel: 2728

Die Zahl 2728 soll auf Teilbarkeit durch 11 geprüft werden. Von der Einerstelle aus abwechselnd gerechnet ergibt 8 - 2 + 7 - 2 = 11, und 11 ist durch 11 teilbar, also ist auch 2728 durch 11 teilbar: 2728 : 11 = 248. Die Quersumme 19 verrät zugleich, dass 2728 weder durch 3 noch durch 9 teilbar ist; die alternierende Quersumme muss dafür nicht 0 sein, es genügt, dass sie selbst durch 11 teilbar ist. Beispiel im Rechner öffnen.

Was der Rechner nicht beantwortet

Der Rechner arbeitet im Dezimalsystem: Quersummen in anderen Stellenwertsystemen, etwa im Binärsystem, sind eigene Fragen und werden nicht berechnet. Ebenso wenig kennt der Rechner Nachkommastellen: Das Eingabefeld nimmt ganze Zahlen, eine Zahl mit Komma wird nicht akzeptiert.

Die Grenze von 15 Ziffern ist bewusst gesetzt und hat einen technischen Grund. Der Server liest die Eingabe zuerst als Fließkommazahl und wandelt sie danach in eine ganze Zahl; ganze Zahlen sind in einer Fließkommazahl nur bis 2 hoch 53, rund 9,007 Billionen, exakt darstellbar. 999.999.999.999.999 liegt sicher darunter, eine höhere Grenze würde die letzte Ziffer verfälschen und damit genau den Wert, den dieser Rechner ausgibt.

Prüfziffernverfahren wie IBAN, EAN und ISBN arbeiten zwar ebenfalls mit gewichteten Quersummen, aber jedes Verfahren hat eigene Gewichte. Ob eine IBAN, eine EAN oder eine ISBN formal gültig ist, lässt sich mit der einfachen Quersumme dieses Rechners nicht prüfen.